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A definição de um problema define quais são as saídas possíveis de um problema, quais as respostas esperadas para sua solução e quais as saídas para estas soluções.
A otimização combinatória surge da necessidade de se minimizar ou maximizar uma função ou um conjunto de funções que caracterizam um problema. Isto é feito através da escolha sistemática dos valores de variáveis em conjuntos numéricos finitos. O objetivo é encontrar a dinâmica que resulte no melhor desempenho possível do sistema, ou seja, uma “solução ótima” do problema.
Os problemas otimizados estão contidos em diversas áreas do conhecimento como a administração, biologia, economia, engenharia, logística, transporte dentre outras ciências. Na economia, como exemplo, o objetivo da otimização consiste em minimizar custos ou a maximização de lucros. Já na engenharia podem haver problemas em que se deseje diminuir o tempo de resposta para que o sistema dinâmico passe ao estado de regime permanente, como também o objetivo de se minimizar oscilações em sistemas de controle ou determinar de maneira ótima os parâmetros de um sistema de controle.
O termo mais empregado na literatura técnica para referenciar a função que se deseja aplicar o processo de minimização e/ou maximização é chamada “função objetivo”. As variáveis da função objetivo se combinam de maneira linear para explicitar os recursos empregados na resolução de um problema. Sob estas variáveis são aplicadas restrições que impõem limites aos recursos finitos para a resolução de um problema e podem ser aplicadas diretamente sob o conjunto de variáveis de um problema ou traduzidas por meio de funções, que podem conter três tipos de comparações:
- maior ou igual $(\geqslant)$;
- menor ou igual $(\leqslant)$;
- igualdade $(=).$
Em computação, utiliza-se de linguagens de programação para a resolução de problemas de otimização combinatória em que a função objetivo e suas restrições se apresentam de diferentes maneiras. Estas linguagens de programação são escolhidas de acordo com o tipo de programação adotada pelo programador (tabela 01).
Tabela 01 – Tipos de otimização.
| Tipo da Função Objetivo $f(x)$ |
Tipo das Restrições |
Conjunto das Variáveis |
Tipo de programação |
|---|---|---|---|
| linear | linear | $\mathbb{R}^n$ | linear |
| convexa | linear ou côncava |
$\mathbb{R}^n$ | convexa |
| quadrática | linear | $\mathbb{R}^n$ | quadrática |
| qualquer | quaisquer | $\mathbb{Z}^n$ e $\mathbb{I}^n$ |
inteira |
| não-linear | não-linear | $\mathbb{R}^n$ | não-linear |
| qualquer | quaisquer | qualquer | dinâmica ou meta-heurística |
Fonte: Autor.
Otimização do Problema de Fluxo de Carga
O Problema de Fluxo de Carga é o estudo de sistemas elétricos de potência em regime permanente para uma condição de carga e de geração. A sua solução determina os valores de tensão em todas as barras do sistema. Com as tensões nas barras e os parâmetros elétricos do sistema pode-se obter as correntes nas linhas e as perdas de potência ativa nas linhas de transmissão para uma condição de operação (carga+geração).
Supondo um sistema com $n$ geradores, após o fluxo de carga convergido, a soma da potência ativa gerada em cada gerador devera ser igual a soma das potências ativas consumidas em cada uma das barras do sistema mais as perdas de potência ativa nas linhas de transmissão.
| $ \displaystyle \sum_{i=1}^{N}P_{C}+\sum_{i=1}^{N_LTs}P_{L}-\sum_{i=1}^{N}P_{i}=0 $ para $ i=1,2,\cdots,N $ | (1) |
onde:
- $ P_{C} $ é a potência ativa consumida em cada barra;
- $ P_{L} $ é a potência ativa perdida em cada linha de transmissão;
- $ P_{i} $ é a potência ativa gerada em cada barra.
Caso se modifique a geração em cada unidade geradora, porém conservando a mesma carga consumida, o sistema passará a operar em um novo ponto de operação. Considerando as perdas ativas totais como a função objetivo e o despacho de cada unidade geradora como variável de controle, o problema do fluxo de carga ótimo consistem em determinar o despacho de cada unidade geradora de modo que as perdas sejam mínimas.
Referências
- M. Firmino de Medeiros Jr. Otimização de Sistemas, dca-UFRN, 2011.
- A. Izmailov; M. Solodov: Otimização – Vol. 2 – Métodos Computacionais. Instituto de Matemática Pura e Aplicada – IMPA, 2007.
- SILVA, E. M. et al. Pesquisa operacional: programação linear. São Paulo: Atlas, 1999.
- Bazaraa, M. S., Sherali, H.D., Shetty, C. M., Nonlinear programming: Theory and algorithms. 2nd ed. John Wiley, New York (NY), 1993.
- Bazaraa, M.S., Jarvis, J.J., e Sherali, H.D., Linear Programming and Network Flows. Wiley, 1990.
- Fletcher, R., Practical methods of optimization, John Wiley – Interscience, New York, 1987.
- Luenberger, D.: Introduction to Linear and Nonlinear Programming – Addison-Wesley, 1973.